ГУЗАРИШИ АДАДҲО АЗ ЯК СИСТЕМАИ ҲИСОБИ МАВҚЕӢ БА СИСТЕМАИ ДИГАР

Тарзи аз дигар системаҳои ҳисоб ба системаи 10-ӣ гузаронидани ададҳо. Ададҳои дар системаҳои ҳисоби мавқеии 2-ӣ, 8-ӣ ва 16-ӣ додашударо ба системаи ҳисоби 10-ӣ табдил додан масъалаи хеле осон аст. Барои ин кифоя аст, ки ададҳои додашударо дар шакли кушода нависем ва қимати суммаҳои ҳосилшударо ҳисоб кунем.

1. Табдилдиҳии адад аз системаи 2-ӣ ба 10-ӣ. Адади дилхоҳи дуӣ, масалан, 10101,11₂-ро мегирем, онро дар шакли кушода менависем ва қимати онро ҳисоб мекунем:

10101,11₂=1∙2⁴ +0∙2³+1∙2²+ 0∙2¹+1∙2+1∙2^-1+1∙2^-2=21,75₁₀.

1. Табдилдиҳии адад аз системаи 8-ӣ ба 10-ӣ. Адади дилхоҳи ҳаштӣ, масалан, 567,34₈-ро мегирем, онро дар шакли кушода менависем ва қимати онро ҳисоб мекунем:

567,34₈ = 5 ∙ 8² + 6 ∙ 8¹ + 7 ∙ 8+ 3 ∙ 8^-1 + 4 ∙ 8^-2 =375,4375₁₀.

1. Табдилдиҳии адад аз системаи 16-ӣ ба 10-ӣ. Адади дилхоҳи шонздаҳӣ, масалан, 19F₁₆-ро мегирем, онро дар шакли кушода менависем ва қимати онро ҳисоб мекунем:

19F₁₆ = 1 ∙ 16² + 9 ∙ 16¹ + F ∙ 8= 1 ∙ 256 + 9 ∙ 16 + 15 ∙ 1 = 415₁₀.

1. Табдилдиҳии адад аз системаи дилхоҳи Q-ӣ ба 10-ӣ. Бигузор адади ихтиёрии x дар системаи ҳисоби Q—ӣ дода шуда бошад:

Талаб карда мешавад, ки ин адад ба системаи ҳисоби 10—ӣ гузаронида шавад. Барои ин, ба мисли амалҳои дар боло овардашуда, шакли пӯшидаи адади x-ро ба шакли кушодаи он меорем:

Акнун кифоя аст, ки қимати суммаро ҳисоб кунем. Адади ҳосилшаванда қимати адади мазкур дар системаи ҳисоби даҳӣ мебошад.

Мисоли 1. Бигузор ададҳои x=371₈ ва у=AF,4₁₆-ро ба системаи ҳисоби 10-ӣ гузаронидан лозим бошад. Бо истифода аз усули овардашуда, ҳосил мекунем:

x = 3∙8² + 7∙8¹ +1∙8= 3∙64 + 7∙8 + 1∙1 = 192 + 56 + 1 = 249₁₀,

у=A∙16¹+F∙16+4∙16^-1=10∙16¹+15∙16+4∙16^-1= =160+15+0,25=175,25₁₀.

1. Табдилдиҳии адад аз системаи дилхоҳи Р-ӣ ба Q-ӣ. Бигузор адади ихтиёрии x дар системаи ҳисоби Р—ӣ дода шуда бошад:

Талаб карда мешавад, ки адади додашудаи x ба системаи ҳисоби Q—ӣ гузаронида шавад:

Барои ҳалли ин масъала лозим меояд, ки қисми бутун ва касрии ададро ҳамчун ададҳои мустақил алоҳида-алоҳада табдил диҳем ва натиҷаҳои табдилотро ҷамъ кунем.

5.1. Табдилдиҳии қисми бутуни адад. Бигузор адади бутуни N дар системаи ҳисоби P-ӣ дода шуда бошад. Барои N-ро ба системаи ҳисоби Q-ӣ гузаронидан, аввал онро дар намуди суммаи дараҷаҳои асосашон Q ва коэффитсиентҳояшон q-ӣ тасвир мекунем

ва баъд ҳар ду қисми баробарии ҳосилшударо ба Q тақсим мекунем:

Акнун қисми бутун ва касрии ифодаи ҳосилшударо ҷудо мекунем:

Коэффитсиенти q, ки бақияи ҳосили тақсим мебошад, бо ёрии формулаи муайян карда мешавад.

Дар қадами дуюм, алгоритми мазкурро барои ҳисобкунии қимати такрор намуда, q₁-ро меёбем. Ва агар ин равандро барои ҳисобкунии қиматҳои N₂, N₃,…,N_s давом диҳем, он гоҳ пас аз s қадам пайдарпайии бақияҳои q, q₁, q₂,…,q_s-1, q_s-ро ҳосил мекунем.

Ба осонӣ пай бурдан мумкин аст, ки пайдарпайии бақияҳои q, q₁, q₂ q₃,…,q_s-1, q_s бо пайдарпайии баръакси рақамҳои q-ии адади бутуни N дар шакли пӯшида мувофиқ меоянд, яъне N=(q_sq_s-1…q₁q)_Q.

Мисоли 2. Бигузор адади даҳии N₁₀=47₁₀-ро ба системаи дуӣ гузаронидан лозим бошад. Тибқи алгоритми овардашуда, пай дар пай ин адад ва ҳосили тақсимҳои бутуни пайдошавандаро ба бузургии асоси системаи дуӣ, яъне 2, то вақте тақсим мекунем, ки натиҷаи ҳосили тақсим аз тақсимкунанда (2) хурд нагардад. Баъд, бақияҳои ҳосилшударо ба қайд мегирем ва онҳоро бо тартиби баръакс, яъне аз рост ба чап менависем. Пайдарпайии ҳосилшуда шакли пӯшидаи адади N дар системаи нави 2-ӣ мебошад: N₂=101111₂.

Мисоли 3. Адади N₁₀=585₁₀-ро низ бо истифода аз алгоритми овардашуда ба системаи ҳисоби ҳаштӣ мегардонем. Мебинем, ки шакли пӯшидаи адади N дар системаи нави 8-ӣ N₈=1111₈ мебошад. Дар ҳақиқат, агар мо ин натиҷаро аз нав ба системаи 10-ӣ баргардонем, он гоҳ ба дурустии қимати ёфташуда боварӣ ҳосил мекунем:

N₈ = 1111₈ = 1Ÿ8³ + 1Ÿ8² + 1Ÿ8¹ + 1Ÿ8= 512+64+8+1 = 585₁₀ = N₁₀.

Мисоли 4. Акнун адади N₁₀=3060₁₀-ро аз системаи ҳисоби 10-ӣ ба системаи ҳисоби 16-ӣ табдил медиҳем. Мебинем, ки бақияҳои дар натиҷаи тақсимкуниҳо ҳосилшуда ба q=4₁₀, q₁=15₁₀ ва q₂=11₁₀ баробар мебошанд. Аз алифбои рақамҳои 16-ӣ истифода бурда, шакли пӯшидаи адади N₁₆-ро меёбем: N₁₆=BF4₁₆

5.2. Табдилдиҳии қисми касрии адад. Бигузор касри дурусти x(0<x<1)-ро бо додаҳои системаи ҳисоби P-ӣ ба системаи ҳисоби Q-ӣ баргардонидан лозим бошад.

Азбаски x<1 аст, бинобар он дар системаи Q-ӣ тасвири шакли пӯшидаи он намуди х=(0,q_-1q_-2…q_-t…)_Q ва шакли кушодааш намуди -ро мегиранд, ки q_-i (i=1,2,3,…) рақамҳои адади x дар системаи Q-ӣ мебошанд.

Барои ёфтани қимати коэффитсиенти ҳар ду қисми баробарии охиронро ба асоси система, яъне Q зарб карда, қисми бутуни ҳосили зарбро ҷудо намудан лозим аст:

Ҳосили зарб ба ва қисми бутуни он ба q_-1 баробар аст. Дар қадамҳои минбаъда алгоритми мазкурро барои касрҳои дурусти такрор карда, қисмҳои бутуни q_-2, q_-3,… -ро ҳосил намудан мумкин аст. Ин равандро то вақте давом додан лозим аст, ки дар натиҷаи зарбкунии каср бо Q қисми касрии навбатӣ ба сифр баробар нашавад ва ё саҳеҳии ҳисобкунии талабкардашуда таъмин нагардад.

Дидан душвор нест, ки пайдарпайии ададҳои ҳосилшудаи q_-1, q_-2,… бо пайдарпайии рақамҳои шакли пӯшидаи х=(0,q_-1q_-2…q_-t…)_Q касри дуруст мувофиқат мекунанд.