СИСТЕМАҲОИ ҲИСОБ. Системаҳои ҳисоби мавқеӣ ва ғайримавқеӣ

Системаҳои ҳисоби мавқеӣ ва ғайримавқеӣ. Барои тасвири иттилоотии миқдори объектҳо аз ададҳо истифода мебаранд. Ададҳо бо ёрии системаҳои махсуси аломатҳо тасвир карда мешаванд, ки онҳоро системаҳои ҳисоб мегӯянд. Алифбои системаҳои ҳисобро аломатҳое ташкил медиҳанд, ки онҳоро рақамҳо меноманд. Масалан, дар системаи ҳисоби даҳӣ ададҳо бо ёрии даҳ рақаме сохта мешаванд, ки онҳоро мо аз хурдсолӣ медонем: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Системаи ҳисоб – системаи рамзиест, ки дар он ададҳо аз рӯи қоидаҳои муайян бо ёрии аломатҳои рақамномидашавандаи ягон алифбо ба қайд гирифта шудаанд.

Системаҳои ҳисоби гуногунеро, ки дар давраҳои гузашта вуҷуд доштанд ва ё имрӯз мавриди истифода қарор доранд, ба ду гуруҳи калон тақсим мекунанд: системаҳои ҳисоби мавқеӣ ва ғайримавқеӣ. Дар системаҳои ҳисоби мавқеӣ бузургии қимати рақам аз мавқеи дар адад ишғолкардааш вобаста мебошад, вале дар системаҳои ҳисоби ғайримавқеӣ – не.

Системаи ҳисоби ғайримавқеии римӣ. Дар системаҳои ғайримавқеӣ бузургии қимати рақам аз мавқеи ишғолнамудаи рақам дар навишти адад вобаста нест. Аз ҳама системаи ҳисоби ғайримавқеии маъмул системаи ҳисоби римӣ ба шумор меравад. Дар ин система ба сифати рақамҳо аломатҳои (баъзе ҳарфҳои алифбои лотинӣ) зерин истифода бурда мешаванд: I (1 – як), V (5 – панҷ), X (10 – даҳ), L (50 – панҷоҳ), C (100 – сад), D (500 – панҷсад) ва M (1000 – ҳазор). Масалан, VI=5+1=6, IX=10-1=9. Адади даҳии 1655 бошад, дар системаи ҳисоби ғайримавқеии римӣ ҳамчун MDCLV ифода карда мешавад. Дар ҳақиқат M+D+С+L+V=1000+500+100+50+5=1655 мебошад. Адади римии MCCLXXIII бошад, ба адади даҳии 1273 баробар аст. Аломатҳои C, X ва I новобаста аз мавқеи дар ин адад ишғолнамудаашон ҳамеша, мувофиқан, ададҳои даҳии 100, 10 ва 1-ро ифода менамоянд.

Дар системаи ҳисоби ғайримавқеии римӣ рақамҳои адад метавонанд бо тарзи дилхоҳ ҷойгир шаванд. Масалан, рақамҳои хурд метавонанд ҳам пеш аз рақамҳои калон ҷойгир шаванд ва ҳам пас аз онҳо. Дар чунин мавридҳо бузургии адади системаи ҳисоби римӣ ҳамчун сумма ё фарқи рақамҳои ин адад муайян карда мешавад. Агар рақами хурд аз тарафи чапи рақами калон ҷойгир шуда бошад, он гоҳ он тарҳ карда мешавад. Дар мавриди акси он, яъне агар рақами хурд аз тарафи рости рақами калон ҷойгир шуда бошад, он гоҳ он ҷамъ карда мешавад. Масалан, ҳангоми тасвир кардани адади даҳии 1998 дар системаи ҳисоби римӣ, дар асл чунин амалҳои ноошкор иҷро карда мешаванд:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 — 100) + (100 — 10) +5 +1 + 1 + 1

Ҳамин тариқ, тавре ки дар таъриф омадааст, дар системаи ҳисоби ғайримавқеӣ қимати рақам аз мавқеи дар адад ишғолкардааш вобаста нест. Масалан, дар адади римии XXX (30) рақами X се маротиба истифода шудааст ва дар ҳар се маврид низ он танҳо як бузургӣ, яъне адади 10-ро ифода мекунад.

Азбаски бо ёрии системаи ҳисоби ғайримавқеии римӣ иҷро намудани ҳатто амалҳои одитарини арифметикӣ низ хеле нобоб ва мушкил аст, бинобар он, имрӯзҳо аз он дар раванди ҳисоббарориҳо тамоман истифода намебаранд. Вале осори онро қариб дар ҳама ҷо вохӯрдан мумкин аст. Масалан, мо аломатҳои системаи ҳисоби римиро дар нишонагузориҳои симпозиуму анҷуманҳо, ишоракунии рақамҳои бобу бахшҳои китобҳо, қарнҳо, рамзгузории соатҳо ва ғайра дида метавонем.

Дар системаи ҳисоби ғайримавқеӣ қимати рақам аз мавқеи дар адад ишғолкардааш вобаста нест.

Системаи ҳисоби мавқеӣ. Дар системаҳои мавқеӣ бузургие, ки дар навишти адад бо ёрии рақам ифода меёбад, аз мавқеи ишғолнамудаи он вобастагӣ дорад. Миқдори рақамҳои истифодашавандаро асоси системаи ҳисоб меноманд. Ҷои ҳар як рақамро дар адад мавқеъ мегӯянд. Дар сарчашмаҳо омадааст, ки аввалин системаи ҳисоби мавқеӣ дар Вавилони Қадим зуҳур кардааст. Аҷиб он аст, ки системаи ҳисоби вавилонӣ шастӣ будааст, яъне дар он аз шаст рақам истифода мебурдаанд. Осори ин система то ҳоло низ рӯи кор мондааст. Масалан, барои чен кардани вақт мо аз асосе истифода мебарем, ки он ба адади 60 баробар аст: дар 1 дақиқа 60 сония ва дар 1 соат 60 дақиқа мавҷуд аст.

Дар қарни XIX дар баъзе мамлакатҳои аврупоӣ системаи ҳисоби дувоздаҳӣ мавриди истифодаи васеъ қарор гирифта буд. Мо то ҳол аз адади 12, ки онро дюжин низ ном мебаранд, хеле зиёд истифода мебарем. Масалан, як шабонарӯзро ба ду дюжин (2х12) соат ва давраро ба сӣ дюжин дараҷа (30х12=360) тақсим мекунем. Ҳангоми харидории асбобу афзори рӯзгор – мизу курсӣ, чойнику пиёла, чумчаву (қошуқу) чангак ва ғайра аз ним ё як дюжин (6 ё 12) истифода мебарем.

Дар Чин (Хитой) солҳои дуру дароз системаи ҳисоби 5-ӣ амал мекард. Дар мамлакатҳои Шарқи Қадим ва мусулмонӣ шояд аз системаҳои ҳисоби 7-ӣ ва 40-ӣ истифода мебурдаанд, ки осори онҳо дар ривояту афсонаҳо ва гуфторҳои халқӣ боқӣ мондааст. Масалан, «Робияи чилгазамӯй», «Кӯҳи чилдухтарон», «Лашкари чилҳазора», «Алибобо ва чил роҳзан», «Моҳ ва ҳафт ситора», «Ҳафт бародарон», «Ҳафткӯл» ва ғайра мисоли ин гуфтаҳо шуда метавонанд.

Дар системаи ҳисоби мавқеӣ қимати миқдории рақам аз мавқеи дар адад ишғолкардааш вобаста аст.

Дар даврони мо аз ҳама бештар аз системаи ҳисоби мавқеии даҳӣ истифода мебаранд. Бо сабаби дар тамоми соҳаҳо татбиқ ёфтани компютер, дар баробари системаи ҳисоби даҳӣ, системаҳои ҳисоби мавқеии дуӣ, ҳаштӣ ва шонздаҳӣ низ мавриди истифодаи васеъ қарор дода шудаанд. Истифодаи ин системаҳои ҳисоб бо тарзи кори компютер вобастагӣ доранд.

Ҳар як системаи ҳисоби мавқеӣ алифбои рақамҳо ва асоси муайяни худро дорад. Масалан, алифбои системаи ҳисоби 10-ӣ аз даҳ рақами маъмули ҳиндӣ-арабӣ иборат буда, асоси онро адади 10 ташкил медиҳад. Айнан ба мисли ҳамин, алифбои системаи 2-ӣ аз ду рақам ва асоси 2, системаи 8-ӣ – ҳашт рақам ва асоси 8 ва системаи 16-ӣ – аз шонздаҳ рақам ва асоси 16 иборат аст (нигар ба ҷадвали поёнӣ):

Барои фарқи системаҳои ҳисоби мавқеиро аз ғайримавқеӣ беҳтар фаҳмидан, муқоисаи ду ададро дида мебароем. Дар системаи ҳисоби мавқеӣ муқоисаи байни ду адад чунин сурат мегирад: аввал рақамҳои якуми ададҳои додашуда аз тарафи чап ба рост муқоиса карда мешаванд. Рақами калонтар далели он аст, ки адади онро дарбаргиранда низ мувофиқан аз адади дуюм калонтар аст. Ҳангоми баробар будани рақамҳои якум, рақамҳои дуюми он ададҳо муқоиса карда мешаванд ва ғайра. Масалан, барои ададҳои 123 ва 234 маълум аст, ки 1 аз 2 хурдтар аст ва аз ин рӯ, 234 аз 123 калон аст. Дар системаҳои ҳисоби ғайримавқеӣ ин қоида ба кор намеояд. Масалан, ҳангоми муқоисаи ададҳои IX ва VI баръало дида мешавад, ки новобаста ба I аз V хурд будан, адади IX аз адади VI калон аст.

Дар системаи ҳисоби мавқеӣ асоси система ба миқдори рақамҳои алифбои он баробар аст.

Тасвиркунии иттилооти ададӣ бо ёрии системаҳои ҳисоб. Одатан асоси системаи ҳисоберо, ки дар он адад навишта шудааст, дар шакли индекси поёнӣ меоранд. Масалан, 456₇ ададест, ки дар системаи ҳисоби 7-ӣ навишта шудааст. Агар адад дар системаи маъмулии 10-ӣ дода шуда бошад, чун қоида асоси системаро нишон намедиҳанд. Азбаски асосҳои ҳамаи системаҳои ҳисоб низ ададҳо мебошанд, бинобар он мо онҳоро дар системаи 10-ӣ нишон медиҳем.

Умуман, ҳар гуна адади х-и бутунро дар системаи ҳисоби асосаш р бо тарзи зерин тасвир кардан мумкин аст:

x=a_n-1∙p^n-1+a_n-2∙p^n-2+…+ a₁∙p¹+a∙p,

ки дар ин ҷо a_n-1, a_n-2,…,a₁,a рақамҳои тасвиркунандаи адади х мебошанд.

Мисоли 1. 1035₁₀=1∙10³+0∙10²+3∙10¹+5∙10=1035;
1010₂ = 1∙2³+0∙2²+1∙2¹+0∙2= 10;

1615₈ = 1∙8³+6∙8²+1∙8¹+5∙8= 909.

Тавре қайд кардем, ҳангоми кор бо компютер бештар аз системаҳои ҳисоби 2-ӣ, 8-ӣ ва 16-ӣ истифода мебаранд. Аслан ҳамин системаҳои ҳисоб низ кифояанд, ки ҳар гуна ҳисоббарориҳои мураккабтаринро на танҳо компютер, балки худи инсон низ анҷом дода тавонад. Вале бо сабабҳои гуногун баъзан лозим меояд, ки дигар системаҳои ҳисоб, масалан: 3-ӣ, 7-ӣ ё 32-ӣ низ мавриди истифода қарор дода шаванд.

Барои иҷрои амалҳо бо ададҳое, ки дар системаҳои ғайримаъмулӣ дода шудаанд, хеле муҳим аст ба хотир гирем, ки онҳо аз системаи маъмули 10-ӣ ягон фарқе надоранд. Иҷрои амалҳои ҷамъ, тарҳ ё зарб дар ҳамаи системаҳои ҳисоб аз рӯи як нақша амалӣ гардонида мешаванд.

Пас, барои чӣ мо аз дигар системаҳои ҳисоб кам истифода мебарем? Яке аз сабабҳои асосӣ он аст, ки мо дар ҳалли масъалаҳои ҳамарӯзаи рӯзгорамон асосан аз системаи 10-ӣ истифода мебарем. Барои чӣ? Чунки мо бо ин система одат кардаем. Ба назарамон чунин менамояд, ки корбарӣ дар ин система хеле осон ва созгортар аст. Дар воқеъ, ин ҳамин тавр ҳам ҳаст. Сабаби истифодаи системаи 10-иро бо чанд далел, масалан, миқдори ангуштони дастони инсон, асоснок менамоянд. Мо дар ин ҷо ин масъаларо мавриди баҳс қарор доданӣ нестем. Танҳо ҳаминро қайд менамоем, ки имрӯз тамоми воситаҳои ҳисоббарорӣ, муносибатҳои пулӣ ва ғайра маҳз ба системаи ҳисоби 10-ӣ вобаста ва асоснок карда шудаанд.

Барои компютерҳо бошад, дар системаи ҳисоби 2-ӣ кор кардан осонтар аст. Дар ин система ҳамагӣ ду рақам вуҷуд дорад, ки онҳо иҷрои амалҳои арифметикиро тамоман сода мегардонанд. Пас, барои чӣ дар информатика зуд-зуд аз системаи ҳисоби 16-ӣ истифода мебаранд? Барои он ки навишти ададҳо дар ин система нисбат ба системаи 2-ӣ якчанд маротиба кӯтоҳтар аст. Адади 2-ии дилхоҳро ба 16-ӣ ё баръакс 16-иро ба 2-ӣ баргардонидан осон аст.