АМАЛҲОИ АРИФМЕТИКӢ ДАР СИСТЕМАҲОИ ҲИСОБИ МАВҚЕӢ

Амалҳои арифметикӣ дар тамоми системаҳои ҳисоби мавқеӣ аз рӯи қоидаҳои якхелаи ба ҳама маълум иҷро карда мешаванд. Бинобар он, мо иҷрои ин амалҳоро аввал барои системаи ҳисоби дуӣ дида мебароем.

Тавре маълум аст, дар системаи ҳисоби 2-ӣ ҳамагӣ ду рақам – 0 ва 1 истифода бурда мешавад, ки онҳоро мувофиқан рақамҳои дуӣ (binary digits) ном мебаранд. Мухтасар хондани ин ифода боиси тавлиди мафҳуми бит (bit) шудааст, ки зери он разряди адади дуӣ фаҳмида мешавад.

Амали ҷамъ. Ҷамъи ададҳо дар системаи ҳисоби 2-ӣ хеле сода аст. Асоси ин амалро ҷадвали ҷамъи ададҳои якрязрядаи дуӣ ташкил медиҳад. Аз ҷадвал дида мешавад, ки ҳангоми ҷамъи ду адади як пуршавии разряд ва гузариш ба разряди болоӣ амалӣ мегардад. Пуршавии разряд ҳамеша дар мавридҳое ба амал меояд, ки агар бузургии адад ба бузургии асоси система баробар ё аз он калон шавад.

Ҷамъи ададҳои дуии бисёрразряда низ мувофиқи ҷадвали овардашуда, бо баҳисобгирии гузаришҳои имконпазир, аз разрядҳои поёнӣ ба болоӣ амалӣ мегардад.

Масалан, дар расми тарафи рост амали ҷамъи ададҳои 110₂ ва 11₂ оварда шудааст. Барои ба дурустии натиҷа – 1001₂ боварӣ ҳосил намудан, аввал ададҳои 110₂ ва 11₂-ро ба системаи 10-ӣ табдил медиҳем ва баъд онҳоро ҷамъ мекунем:

110₂ = 1∙2² + 1∙2¹ + 0∙2= 6₁₀;

11₂ = 1∙2¹ + 1∙2=3₁₀;

6₁₀ + 3₁₀ = 9₁₀.

Акнун худи натиҷаро аз системаи ҳисоби дуӣ ба даҳӣ баргардонида, мебинем, ки дар ҳақиқат дар ин ҳолат низ адади 9-и даҳӣ ҳосил шудааст:

1001₂ = 1∙2³ + 0∙2² + 0∙2¹ + 1∙2= 9₁₀.

Амали тарҳ. Акнун тарзи иҷрои амали тарҳи ададҳои дуиро дида мебароем. Асоси онро ҷадвали тарҳи ададҳои дуии якрязряда ташкил медиҳад. Ҳангоми аз адади хурд (0) тарҳ кардани адади калон (1) амали қарзгирӣ аз разряди болоӣ ба вуқӯъ мепайвандад. Дар ҷадвал ин амал бо рақами 1-и хатчадор ишорат шудааст.

Тарҳи ададҳои дуии бисёрразряда низ мувофиқи ҷадвали тарҳи ададҳои дуии якрязряда, бо баҳисобгирии амалҳои имконпазири қарзгирӣ аз разрядҳои болоӣ иҷро карда мешавад. Масалан, дар расми тарафи рост амали тарҳи ададҳои пешинаи 110₂ ва 11₂ оварда шудааст.

Амали зарб. Асоси амали зарби ададҳои дуиро ҷадвали зарби ададҳои дуии якразряда ташкил медиҳад. Зарби ададҳои дуии бисёрразряда низ аз рӯи ҳамин ҷадвал ва мувофиқи алгоритми зарби системаи ҳисоби мавқеии даҳӣ иҷро карда мешавад.

Ба сифати мисол тарзи зарб кардани боз ҳамон ду адади дуии 110₂ ва 11₂-ро дида мебароем. Тавре аз расми дар тарафи рост овардашуда дида мешавад, дар ҳақиқат иҷрои амали зарб дар системаи ҳисоби 2-ӣ низ айнан ба мисли системаи ҳисоби 10-ӣ амалӣ гардонида мешудааст.

Амали тақсим. Тақсими ададҳои дуӣ низ ба мисли амали зарбашон аз рӯи алгоритми амали тақсими системаи ҳисоби мавқеии даҳӣ иҷро карда мешавад. Боз ба сифати мисол тақсими ҳамон ду адади дуии 110₂ ва 11₂-ро меорем, ки ҳангоми амалҳои зарб, ҷамъ ва тарҳ оварда будем.

Амалҳои арифметикӣ дар системаҳои ҳисоби 8-ӣ ва 16-ӣ. Амалҳои арифметикии ҷамъ, тарҳ, зарб ва тақсим дар системаҳои ҳисоби ҳаштӣ ва шонздаҳӣ низ ба мисли системаҳои ҳисоби даҳӣ ва дуӣ ва инчунин ҷадвалҳои мувофиқи ҷамъ, тарҳ ва зарб дар ин системаҳо иҷро карда мешаванд.

Танҳо ҳаминро ба эътибор гирифтан зарур аст, ки ҳангоми иҷрои амали ҷамъ бузургии гузариш ба разряди навбатӣ ва ҳангоми иҷрои амали тарҳ бузургии қарзгирӣ аз разряди болоӣ мувофиқи бузургии асоси ин системаҳо муайян карда мешавад. Масалан, дар расми дар тарафи рост овардашуда тарзи иҷрои амали ҷамъ дар системаи 8-ӣ ва тарзи иҷрои амали тарҳ дар системаи 16-ӣ нишон дода шудааст. Барои иҷрои амалҳои арифметикӣ бо ададҳо ва ифодаҳои дар системаҳои гуногуни ҳисоб додашуда бошад, зарур аст, ки онҳо аввал ба яке аз ин системаҳо оварда шаванд ва пас аз он амалҳои зарурӣ мавриди иҷро қарор гиранд.

Мисоли 1. Адади А₁₀=256₁₀-ро, ки дар системаи ҳисоби даҳӣ дода шудааст, ба системаи ҳисоби шонздаҳӣ гузаронидан ва бо истифода аз ҷадвали рақамҳои системаҳои ҳисоб натиҷаи ҳосилшударо ба системаи ҳисоби дуӣ табдил додан талаб карда шудааст.

Аз расм дида мешавад, ки натиҷаи амали тақсими адади 256-и даҳӣ ба бузургии асоси системаи 16-ӣ ба А₁₀ = 256₁₀ = =100₁₆=A₁₆ баробар будааст. Акнун адади шонздаҳии А₁₆=100₁₆-ро ба адади дуӣ табдил медиҳем.

Барои ин адади 1 0 0 -ро аз чап ба рост ба разрядҳо ҷудо мекунем. Азбаски тетради 0₁₆ ба 0000₂ ва тетради 1₁₆ ба 0001₂ баробар аст, бинобар он сифрҳои беаҳамияти чапи 1-ро партофта, ҳосил мекунем:

256₁₀=100₁₆=0001.0000.0000₂=100000000₂

Мисоли 2. Адади А₁₀=365₁₀-ро, ки дар системаи ҳисоби даҳӣ дода шудааст, аввал ба системаи ҳисоби ҳаштӣ гузаронидан ва баъд бо истифода аз ҷадвали рақамҳои системаҳои ҳисоб натиҷаи ҳосилшударо ба системаи ҳисоби дуӣ табдил додан талаб карда шудааст.

Дар ин маврид низ, ҳангоми тақсимкунии адади даҳӣ ба системаи ҳисоби ҳаштӣ, мо ба мисли мисоли якум амал карда, барои аз системаи 8-ӣ ба системаи 2-ӣ баргардонидани адади ҳосилшуда бошад, ба ҷойи ҷадвали тетрадҳо аз ҷадвали триадҳо истифода мебарем. Ҳамин тариқ:

А₁₀=365₁₀=555₈=А₈=101.101.101₂=101101101₂=А₂.