СИСТЕМАҲОИ ҲИСОБИ ДАҲӢ, ДУӢ, ҲАШТӢ, ШОНЗДАҲӢ

Системаи ҳисоби мавқеии даҳӣ. Алифбои рақамҳои системаи ҳисоби 10-иро даҳ рақами ба ҳама маълуми ҳиндӣ-арабӣ ташкил дода, асоси он ҳамчун 10 ишорат карда мешавад, ки қимати он ба миқдори рақамҳои алифбои система баробар аст. Қайд кардан зарур аст, ки асоси системаи мавқеии дилхоҳро низ ҳамчун пайдарпайии ду рақами аввалаи онҳо, яъне рақамҳои 1 ва 0 (10) тасвир менамоянд. Масалан, асоси системаи ҳисоби 2-ӣ, ки адади 2 мебошад, ҳамчун 10 ишорат карда мешавад. Дар системаи ҳисоби шонздаҳӣ низ асоси система, яъне 16, ҳамчун 10 ишорат карда мешавад. Айнан ҳамин тавр, асосҳои системаҳои 3-ӣ ё 8-ӣ, 5-ӣ ё 40-ӣ ва ғайра ба воситаи 10 ифода карда мешавад.

Адади 666-ро ҳамчун мисоли системаи ҳисоби даҳӣ дида мебароем. Дар ин ҷо адади 6 се маротиба такрор ба такрор омадааст. Адади 6-и якуми аз тарафи чапомада шашсад (6-то садӣ), адади 6-и дар мобайнбуда шаст (6-то даҳӣ) ва адади 6-и аз ҳама охиромада шаш (6-то воҳид)-ро ифода мекунанд.

Мавқеи рақамро дар адад разряд меноманд. Разряди адад аз тарафи рост ба чап, яъне аз разряди хурд ба калон зиёд мешавад. Дар системаи ҳисоби
10-ӣ рақами дар канори рости (разряди) адад ҷойгирбуда миқдори воҳидҳо, рақами ҳамсояи чапи он – миқдори даҳиҳо, рақами навбатӣ – садиҳо, пас аз он – ҳазориҳо, даҳҳазориҳо ва ғайраро ифода мекунанд. Мувофиқан разряди воҳидҳо, разряди даҳиҳо, разряди садиҳо ва ғайра ҳосил мешаванд.

Адади 666-и дар боло овардашуда дар шакли пӯшидаи (ғункардашудаи) муқаррарӣ навишта шудааст. Мо бо ин тарзи тасвиркунии ададҳои даҳӣ ончунон одат кардаем, ки ҳатто чӣ гуна дар майнаамон рақамҳои адади додашударо ба дараҷаҳои гуногуни адади 10 зарб кардан ва ҳосили амалҳои зарбро ҷамъ карданамон низ аҳамият намедиҳем. Ин амалҳо ба таври худкор иҷро мешаванд. Дар ҳақиқат, агар мо ин ададро дар шакли кушода нависем, он гоҳ ба зудӣ эҳсос мекунем, ки амалҳои зарбу ҷамъро воқеан ошкоро иҷро мекардаем:

666₁₀ = 6 ∙ 10² + 6 ∙ 10¹ + 6 ∙ 10.

Тавре аз мисоли мазкур бармеояд, адад дар системаи ҳисоби мавқеӣ дар намуди суммаи қатори ададии дараҷаҳои асоси система тасвир карда шуда, ба сифати коэффитсиентҳои он рақамҳои адади додашуда қабул карда мешудаанд. Дар мисоли овардашуда ба сифати асоси система адади 10 ва коэффитсентҳо – рақами 6 истифода бурда шудааст.

Барои тасвиркунии қисми касрии ададҳои даҳӣ қиматҳои манфии дараҷаҳои асоси системаро истифода мебаранд. Масалан, шакли кушодаи навишти адади 777,77 чунин намуд дорад:

777,77₁₀ = 7 ∙ 10² + 7 ∙ 10¹ + 7 ∙ 10+ 7 ∙ 10^-1 + 7 ∙ 10^-2.

Суммаи 2∙10⁵+0∙10⁴+4∙10³+5∙10²+0∙10¹+1∙10шакли тасвири кушодаи адади 204501₁₀ мебошад.

Дар намуди умумӣ шакли кушодаи навишти адади A₁₀, ки n разряди бутун ва m разряди касрӣ дорад, дар системаи ҳисоби даҳӣ чунин тасвир карда мешавад:

A₁₀ = a_n-1 ∙ 10^n-1 +…+ a∙ 10+ a_-1∙10^-1 +…+ a_—m ∙10^—m.

Коэффитсентҳои a_i (i=-m,-m+1,…,-1,0,1,2,…,n-2,n-1) дар ин тасвир рақамҳои адади A₁₀-ро ифода мекунанд. Бинобар он, дар системаи ҳисоби даҳӣ шакли пӯшидаи адади A₁₀ намуди зеринро дорад:

A₁₀ = a_n-1 a_n-2 … a, a_-1 … a_-m.

Аз формулаҳои овардашуда дақиқан дидан мумкин аст, ки ҳангоми зарбкунӣ ё тақсимкунии адади даҳӣ ба худи 10, яъне ба бузургии асоси система, аслан, мувофиқан, амали ҷойивазшавии аломати вергул ба тарафи рост ё чап рух медиҳад. Яъне аломати вергул, ки барои ҷудо кардани қисми бутуни адад аз қисми касрии он пешбинӣ шудааст, ҳангоми ба 10 зарбкунӣ як разряд ба тарафи рост ва ҳангоми тақсимкунӣ бошад, як разряд ба тарафи чап мекӯчад.

Мисоли 1. 777, 77₁₀ ∙ 10 = 7777, 7₁₀;

777, 77₁₀: 10 = 77, 777₁₀;

101₁₀ ∙ 10 = 1010₁₀;

101₁₀: 10 = 10,1₁₀.

Системаи ҳисоби мавқеии дуӣ. Одамон бештар ба системаи ҳисоби
10-ӣ шояд барои он рӯй овардаанд, ки онҳо аз замонҳои қадим дар ҳисобкуниҳо аз ангуштонашон истифода мебурданд. Барои компютер бошад, истифодаи системаи ҳисоби 2-ӣ осонтар аст, чунки ин система аз дигар системаҳои ҳисоб якчанд бартарӣ дорад:

• барои татбиқи ин система ҷузъҳои техникие истифода мешаванд, ки онҳо ҳамагӣ 2 ҳолати имконпазир доранд (ҷараёни барқ «ҳаст» ё «нест», ҷузъ магнитнок «ҳаст» ё «нест» ва ғайра);
• тасвири иттилоот тавассути танҳо ду вазъ – «эътимоднокӣ» ва «ба халалҳо устувор» амалӣ карда мешавад;
• барои иҷрои табдилдиҳиҳои мантиқии иттилоот татбиқ шудани дастгоҳи алгебраи булӣ.

Дар системаи ҳисоби дуӣ асос ба 2 баробар буда, алифбои онро танҳо ду рақам – 0 ва 1 ташкил медиҳанд. Аз ин ҷо, шакли кушодаи адади дилхоҳ дар системаи ҳисоби 2-ӣ дар намуди суммаи дараҷаҳое тасвир карда мешавад, ки асоси онҳо ба 2 баробар буда, коэффитсиентҳояшон рақамҳои 0 ва 1 мебошанд.

Масалан, агар шакли кушодаи адади ихтиёрии A₂ дар системаи ҳисоби дуӣ намуди A₂=1∙2²+0∙2¹+1∙2+0∙2^-1+1∙2^-2-ро дошта бошад, он гоҳ шакли пӯшидаи он A₂=101,01₂ аст. Шакли кушодаи адади 11001101₂ намуди 1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2доро мебошад.

Дар намуди умумӣ шакли кушодаи навишти адади A₂, ки n разряди бутун ва m разряди касрӣ дорад, дар системаи ҳисоби дуӣ чунин тасвир карда мешавад:

A₂ = a_n-1 ∙ 2^n-1 + a_n-2 ∙ 2^n-2 + …+a∙ 2+ a_-1 ∙2^-1+…+a_-m ∙ 2^-m.

Коэффитсентҳои a_i (i = -m,…,-1, 0, 1,…,n-1) дар ин формула рақамҳои адади A₂ (яъне 1 ё 0)-ро ифода мекунанд. Шакли пӯшидаи адади A₂ ба худ намуди зеринро мегирад:

A₂ = a_n-1 a_n-2 … a, a_-1 a_-2 … a_-m.

Ба мисли системаи ҳисоби 10-ӣ, аз формулаҳои навбатӣ низ бармеояд, ки ҳангоми зарбкунӣ ё тақсимкунии адади дуӣ ба 2, яъне ба бузургии асос, мувофиқан, амали ҷойивазшавии аломати вергул ба тарафи рост ё чап рух медиҳад. Ҳангоми зарбкунӣ вергул як разряд ба тарафи рост ва тақсимкунӣ – як разряд ба тарафи чап мекӯчад.

Мисоли 2. 101,01₂ ∙ 2 = 1010,1₂;

101, 01₂: 2 = 10,101₂.

Мисоли 3. Тасвири якчанд ададҳо дар системаҳои ҳисоби мавқеии 10-ӣ ва 2-ӣ: 1₁₀=1₂; 2₁₀=10₂; 4₁₀=100₂; 5₁₀=101₂; 8₁₀=1000₂; 9₁₀=1001₂; 10₁₀=1010₂; 0,5₁₀=0,1₂; 0,25₁₀=0,01₂.

Системаҳои ҳисоби мавқеӣ бо асоси дилхоҳ. Умуман, тавре ки аён гашт, барои масъалаҳои ҳисоббарорӣ аз маҷмӯи калони системаҳои ҳисоби мавқеӣ истифода бурдан мумкин будааст, ки асоси онҳо баробари 2 ва ё аз он бузургтар бошад. Дар системаи ҳисоби асосаш q (системаи ҳисоби q-ӣ) шакли кушодаи навишти адади ихтиёрӣ намуди суммаи дараҷаҳои асоси q-ро дорад, ки ба сифати коэффитсиентҳои онҳо рақамҳои 0, 1,…,q-1 баромад мекунанд:

A_q = a_n-1 ∙ q^n-1 + a_n-2 ∙ q^n-2 +…+ a∙ q+ a_-1 ∙ q^-1 +…+ a_-m ∙ q^-m.

Коэффитсиентҳои a_i дар ин формула рақамҳои ададро дар системаи ҳисоби q-ӣ ифода мекунанд.

Ҳангоми батанзимории воситаҳои техникии компютер ё татбиқ намудани барномаи нав баъзан лозим меояд, ки барои ба вазъи кунунии хотираи компютер баҳо додан ба «дохили он» назар афканем. Мебинем, ки он ҷо пур аз пайдарпайиҳои дарози сифрҳо ва якҳост. Ин пайдарпайиҳои дуӣ барои корбарии инсон, ки бо тарзи навишти кӯтоҳи даҳии ададҳо одат кардааст, хеле дилгиркунанда ва нобоб аст. Ғайр аз ин, имкониятҳои табиии тафаккури инсон барои зуд ва дақиқ баҳо додан ба бузургии ададҳое, ки масалан, аз комбинатсияи 16 сифру якҳо иборатанд, камӣ мекунад.

Барои осонгардонии дарки ададҳои дуӣ, олимон ба хулосае омаданд, ки онҳоро ба гуруҳҳои разряднок, масалан сетогӣ ё чортогӣ тақсим кунанд. Ин ғоя бисёр ҳам муфид афтод, чунки пайдарпайии аз 3 бит иборатбуда 8 комбинатсия ва 4-бита – 16 комбинатсия дошта метавонанд. Азбаски ададҳои 8 ва 16 дараҷаҳои адади 2 мебошанд, бинобар он мувофиқати онҳоро бо ададҳои дуӣ ёфтан душвор нест.

Ғояи мазкурро тақвият дода, олимон ба хулосае омаданд, ки гуруҳи разрядҳоро рамзбандӣ карда, дарозии пайдарпайии аломатҳои дуиро кӯтоҳ кардан мумкин аст. Барои рамзбандии се бит иттилоот 8 рақам лозим будааст. Аз ин рӯ, ададҳои даҳии 0,1,…,7 интихоб шуданд. Барои рамзбандии чор бит иттилоот бошад, 16 рақам лозим будааст, ки дар ин маврид 10 рақами системаи 10-ӣ ва 6 ҳарфи аввалаи алифбои лотинӣ – A, B, C, D, E, F интихоб шудаанд. Системаҳои ҳосилшударо, ки асосҳояшон ба 8 ва 16 баробар буд, мувофиқан системаҳои ҳисоби 8-ӣ ва 16-ӣ ном мебурдагӣ шуданд.

Системаи ҳисоби мавқеии ҳаштӣ. Дар системаи ҳисоби 8-ӣ (octal) асос ба 8 баробар (q=8) аст. Дар ин маврид, коэффитсиентҳои формула a_i рақамҳои адади додашударо дар системаи ҳисоби 8-ӣ ифода мекунанд, яъне метавонанд яке аз рақамҳои 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 бошанд. Масалан, агар шакли пӯшидаи адад дар системаи ҳисоби ҳаштӣ A₈=473,2₈ бошад, он гоҳ шакли кушодаи он A₈=4∙8²+7∙8¹+3∙8+2∙8^-1 мебошад.

Системаи ҳисоби мавқеии шонздаҳӣ. Тавре қайд кардем, дар системаи ҳисоби 16-ӣ (hexadecimal) миқдори рақамҳои алифбо ба 16-то баробар буда, дар он ба ғайр аз 10-то рақамҳои системаи ҳисоби даҳӣ боз ададҳои зерини ин система – 10, 11, 12, 13, 14, 15 низ мавриди истифода қарор дода шудаанд, ки онҳоро (барои якқимата гардиданашон) ҳарфҳои лотинии A, B, C, D, E, F иваз мекунанд. Аз ин система ҳангоми рамзбандии иттилооти графикӣ, дар муайян кардани тобишҳои рангӣ (амсилаи RGB), ба таври васеъ истифода мебаранд.

Дар системаи ҳисоби 16-ӣ асос ба 16 баробар (q=16) аст. Масалан, агар шакли пӯшидаи адад дар ин система A₁₆=8BA,F₁₆ бошад, он гоҳ шакли кушодаи он намуди A₁₆=8∙16²+B∙16¹+A∙16+F∙16^-1-ро мегирад. Дар мавриди қимати ҳарфҳои лотиниро ба воситаи ададҳои ба онҳо баробарқувваи даҳӣ ифода кардан (A=10, B=11, F=15), адади додашуда намуди A₁₆=8∙16²+11∙16¹+10∙16+15∙16^-1= 2234,9375-ро мегирад.

Дар ҷадвали тарафи рост алифбои рақамҳои системаҳои ҳисоби мавқеии 10-ӣ, 2-ӣ, 8-ӣ, 16-ӣ ва тасвири рақамҳо дар системаҳои омехтаи (2-8)-ӣ ва (2-16)-ӣ оварда шудааст. Тарзи тасвиркунии рақамҳои системаи ҳисоби 8-иро ба воситаи се рақами системаи 2-ӣ усули «триадҳо» ва тарзи тасвиркунии рақамҳои системаи ҳисоби 16-иро ба воситаи чор рақами системаи 2-ӣ усули «тетрадҳо» меноманд. Аз ин усулҳо истифода бурда, ба таври фаврӣ адади дилхоҳи дар системаҳои 8-ӣ ё 16-ӣ додашударо ба системаи 2-ӣ ва баръакс, адади 2-иро ба 8-ӣ ё 16-ӣ баргардонидан мумкин аст. Масалан, барои баргардони адади ҳаштии 645₈ ба системаи дуӣ кифоя аст, ки ҳар як рақами ин ададро ба воситаи триадҳо тасвир кунем, яъне 645₈=110.100.101₂. Айнан ҳамин тавр адади шонздаҳии 645₁₆-ро бо истифода аз тетрадҳо ба системаи дуӣ бармегардонем: 645₁₆=0110.0100.0101₂. Усули баръакс низ бо ҳамин роҳ амалӣ мегардад. Масалан, барои адади дуии 11100110001011₂-ро ба системаи 8-ӣ баргардонидан, лозим меояд, ки аввал адади дуии додашударо аз тарафи рост ба чап ба гуруҳҳои серақамӣ ҷудо кунем ва баъд аз ҷадвали триадҳо истифода барем:

11100110001011₂ = 011.100.110.001.011₂ = 34613₈.