Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени

Закон тяготения Ньютона определяет притяжение двух точечных масс. Для двух точечных неподвижных зарядов сила электростатического взаимодействия (закон Кулона) имеет такой же вид, как и в поле гравитации, только вместо масс будут стоять заряды q и Q. Знак зарядов может быть разным в отличие от масс, которые всегда положительны, и сила может быть притягивающей (-) или отталкивающей (+). Если тело не подвергается внешнему воздействию, его состояние движения остается постоянным. При взаимодействии двух тел, изолированных от других тел, сохраняется импульс Р = Мv. Инертная масса М определяется так, чтобы импульс при столкновении двух тел оставался неизменным. В такой системе сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий, или полная энергия системы Е. В изолированной системе сохраняется и момент импульса L, который часто называют кинетическим моментом (см. стр. 93).

Реакция вращающейся системы на внешнее воздействие проявляется в гироскопических эффектах. Земля — большой волчок, и ось ее вращения сохраняет свой наклон по отношению к горизонтали (плоскости эклиптики) практически неизменным, но испытывает прецессию относительно вертикальной оси.

Потенциальную энергию считали равной «ушедшей на время» кинетической энергии ради сохранения энергии при взаимодействиях. Выделим три случая:

а) в поле гравитации потенциальная энергия пропорциональна вертикальному смещению тела и его инертной массе E_п.гр = Mgh. Более точным является выражение GmM/r, в которое входят расстояние до центра Земли r и универсальная постоянная G. По мере удаления от центра Земли потенциальная энергия начинает убывать скорее, и в знаменателе этой формулы будет стоять r². При малых перемещениях вблизи поверхности сохраняется Mgh;

104

б) потенциальная энергия пружины пропорциональна квадрату ее де
формации

в) магнитная потенциальная энергия в грубом приближении об
ратно пропорциональна первой степени расстояния между магнита
ми:

Наклон графика зависимости потенциальных энергий от расстояния дЕ/дх отражает тенденции изменения.

Сила, которую развивает система при убывании ее потенциальной энергии, равна: Сила измеряется в ньютонах: 1 Дж/м = 1 Н.

Для указанных выше значений потенциальных энергий получим значения силы по записанной выше формуле. Поскольку для потенциальной энергии гравитации, равной Mgh, график — прямая с постоянным наклоном, сила гравитации равна Mg, т. е. силе тяжести тела, и направлена вертикально вниз. Для сжатой пружины потенциальная энергия пропорциональна х², поэтому сила пропорциональна упругости пружины и величине сжатия и направлена в противоположную сторону: F= -kx. Для отталкивания цилиндрических магнитов потенциальная энергия пропорциональна обратной величине расстояния между полюсами магнитов, поэтому сила пропорциональна обратной величине квадрата расстояния, т. е. 1/х².

Работа — скалярное произведение силы на перемещение, на протяжении которого она действует; можно записать: А = Fx. Но работа равна изменению потенциальной энергии той системы, на которую сила воздействует. А сила может увеличить и скорость тела (кинетическую энергию), и его потенциальную энергию, связанную с его положением.

Отсюда иное определение силы: это изменение потенциальной энергии системы, отнесенное к тому расстоянию, на котором оно произошло, и равное изменению импульса системы, отнесенному к тому времени, за которое оно произошло. Это понятие наглядно, оно сохранилось с древних времен, а в современной науке является производным от энергии, сохраняющейся в замкнутых системах.

Итак, в изолированных системах при движении сохраняется полная энергия системы. Кроме того, для поступательного движения сохраняется импульс, а для вращательного — момент импульса. Поскольку последние две величины — векторные, каждой из них соответствует по три сохраняющихся компоненты импульса и момента импульса. Таким образом, при взаимодействиях в изолированных системах имеют место семь сохраняющихся величин.

Установленные связи между свойствами пространства и времени и законами сохранения содержались в скрытой форме в принципах классической механики Галилея— Ньютона. Галилей рассматривал пространство и время как реальности, существующие вне нашего сознания. Его

105

принцип относительности отражал однородность и изотропность пространства. У Ньютона пространство и время абсолютны в том смысле, что свойства пространства не зависят от движущихся в нем тел и протекающих механических явлений, а свойства времени — от движущейся материи. Пространство и время не связаны между собой, они как бы арена, где происходят события. Однородность и изотропность пространства и времени необходимо следуют из законов Ньютона.

Впоследствии оказалось, что законы Ньютона можно заменить единым постулатом — вариационным принципом, который был удобнее во многих отношениях, его можно использовать при формулировке сложных задач. В механике материальной точки этот постулат равноценен законам Ньютона. Схему, основанную на законах Ньютона, иногда называют векторной механикой, поскольку она имеет дело с векторными величинами, например скоростью, силой, ускорением.

Аналитическая механика построена по схеме, введенной Лейбницем и развитой Эйлером, Лагранжем, Гамильтоном. Ее величины — скаляры, и динамические соотношения получаются через операции дифференцирования. Методы аналитической механики позволили решать более сложные задачи. Оказалось, что их можно распространить на теорию поля или квантовую механику, где механика Ньютона теряет свою применимость. Вместо понятия массы в аксоматической роли появляется импульс р, определяемый как произведение массы на скорость — производную по времени от координаты. Как и в обычной механике, частицу описывают с помощью координат q в пространстве, причем для системы из N частиц пространство имеет 3N измерений. К пространственным координатам q_j добавляются импульсные координаты q_j – 3N, а материальная точка описывается шестью обобщенными координатами в так называемом фазовом пространстве.

В аналитической механике для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей материальных точек, которые при движении системы не меняются. Их называют интегралами движения. Если в системе N материальных точек, то сохраняющихся величин будет N- 1. Среди них есть такие, которые обладают свойством аддитивности, т.е. значение интеграла движения для системы, состоящей из невзаимодействующих частей, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Все эти три сохраняющиеся величины (или семь скалярных) — интегралы движения.

Эстетически вернее было бы постулировать законы механики в аналитической форме, а потом показать, что в некоторых ограниченных простейших случаях можно получить законы Ньютона. Но векторная форма проще и нагляднее, поэтому решение — какой путь избрать при обучении — неоднозначно. В аналитической механике показывается, что со-

106

стояние любой системы можно описать введением функции Лагранжа, зависящей от координат и скоростей. И, если известно, что в моменты времени t₁ и t₂ система занимает определенные положения, характеризуемые наборами координат, то среди возможных движений между этими положениями реальным будет то, вдоль которого действие будет иметь минимум (вернее, экстремум).

Действием называется величина—

скалярная функция обобщенных координат q_i (i — индекс координаты), скоростей и времени t. Системы с N степенями свободы имеют N сохраняющихся величин. Но не все они одинаково важны, некоторые имеют общее значение, связанное со свойствами симметрии пространства и времени. В 1918 г. немецкий математик Э.Нетер доказала теорему о том, что с симметри-ями связаны законы сохранения. С однородностью времени оказался связан закон сохранения энергии, с однородностью пространства — закон сохранения импульса, с изотропией — закон сохранения момента импульса. И эти законы сохранения потому и стали великими, что связаны и определяются свойствами симметрии пространства и времени. На фундаментальный характер свойств симметрии обратил внимание еще И. Кеплер в своем труде «О гармонии мира», опубликованном в 1619 г.

«Симметричное обозначает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия — тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», — писал Г. Вейль. При этом он ссылался не только на пространственные соотношения, но также синонимом симметрии считал гармонию, указывающую на акустические и музыкальные приложения идеи симметрии. Многим творениям человеческих рук симметричная форма придается как из эстетических, так и практических соображений. Свойствами симметрии занимались многие кристаллографы — Е. С. Федоров, Г. В. Вульф, А. В. Шубников и др. И каждый из них отмечал в различных проявлениях симметрии в кристаллах основополагающую роль строения материи и всеобщий характер влияния симметрии на окружающий мир.

Центральная симметрия (поворотная) широко распространена в природе (вспомним причудливую симметрию снежинок).

Трансляционная симметрия (пространственная) представлена в многочисленных орнаментах, дошедших до нас из древности. Временная трансляционная симметрия прослеживается во всех периодически повторяющихся процессах. Примерами их могут быть и монохроматическая волна, и песни, и стихи, и колебательные химические реакции, и художественные произведения.

Зеркальная симметрия в геометрии относится к операциям отражения или вращения. Она была особо почитаема в Древнем Во-

107

стоке, что отражено в орнаментах и скульптурах той эпохи. Западное искусство, напротив, смягчало и даже слегка нарушало строгую симметрию. Зеркальна симметрия углов падения и отражения светового луча от гладкой поверхности. Зеркально симметричен узор крыльев бабочек или птиц относительно своей продольной оси. Мелкие организмы, взвешенные в воде, имеют почти шарообразную форму. У организмов, живущих в морских глубинах и подверженных давлению силы тяжести, множество поворотов вокруг центра (т.е. вращательная способность) свелось к отдельным поворотам вокруг некоторой оси. Действие факторов филогенетической эволюции, стремившейся вызвать наследственное различие между правым и левым, тормозилось теми преимуществами, которые животное извлекало из зеркально-симметричного расположения своих органов. Этим можно объяснить, почему наши конечности более подчиняются симметрии, чем внутренние органы. Возможно, это связано и с онтогенезом левого и правого, с плоскостью первого деления клетки.

Наибольшей симметрией обладают кристаллы, но не у всех из них наблюдается зеркальная симметрия. Существование оптически активных кристаллов, т.е. поворачивающих плоскость поляризации падающего на них света, долгое время казалось удивительным. Расположение сердца и закручивание кишечника у человека почти всегда (99,98 %) левостороннее. В нашем теле у глюкозы правовращающая форма, у фруктозы — левовращающая. Было установлено, что большинство соединений углерода в природе встречается и в той, и в другой форме. В пространстве различие между правым и левым связано с ориентацией винта, т. е. структура пространства не позволяет отличить их иначе как с помощью договоренности или произвольного выбора, на что указывал еще Лейбниц. В физике правое и левое — эквивалентны, а в мифологических представлениях символизируют соответственно добро и зло. Люди при встрече пожимают друг другу правую руку, в живописи правое создает иное настроение, чем левое.

Понятия симметрии играют в жизни человека важную роль. Природа красива и требует для своего описания красивых уравнений. Возможность записать законы природы с помощью математических формул — величайшее открытие человечества.