Математические закономерности эволюции и Понятие бифуркации

Если теория катастроф описывает области устойчивости структур, то развитие этой статической картины во времени дается теорией бифуркаций. Нелинейная система имеет целый спектр решений, и нужно определить, какие из них «ответвляются» от известного решения при изменении параметра. Изменения управляющих параметров способны вызывать катастрофические (большие) скачки переменных состояний, и эти переходы осуществляются почти мгновенно (скачком). Состояние системы, описываемой потенциалом U(x_i, с_а), задается точкой х_i в которой потенциал имеет минимум. При изменении внешних условий меняются управляющие параметры с, которые в свою очередь, влияют на изменения U(х, с). Глобальный минимум может стать метастабильным или исчезнуть, а система перейдет из одного локального минимума в другой.

Момент перехода определяется свойствами системы и уровнем флуктуаций в ней. Выделяют два принципа: принцип максимального промедления, определяемый существованием устойчивого уровня, и принцип Максвелла, определяющий состояние системы глобальным минимумом. Каждому из принципов соответствует множество точек в пространстве управляющих параметров, в котором происходит переход из одного локального минимума в другой. Последовательность бифуркаций, возникающая с ростом неравновесности в системе, меняется, и процесс пойдет по разным

сценариям. Выше описано развитие турбулентности при движении жидкости по трубе в зависимости от числа Re (пропорционального скорости потока). Движение становится неустойчивым и при больших Re характеризуется набором N колебаний с несоизмеримыми частотами Это квазипериодическое движение называют динамическим хаосом.

Приведем данную Л. П. Кадановым наглядную иллюстрацию перехода к хаосу, которую используют при рассмотрении биологических проблем. Пусть на изолированном острове выводятся летом насекомые численностью и откладывают яйца. Потомство их появится на следующее лето численностью . Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения , а убыль — вторым. При

с < 1 популяция с ростом / вымирает и исчезает, в области 1 < с < 3 — приближается к значению х = 1 – 1/с, которое получается при подстановке в уравнение вместо и их предельных значений; это область стационарного состояния. В диапазоне 3 < с < 3,4 — две ветви решения, и численность колеблется между ними. Она растет резко от малого значения (откладывается много яиц). Перенаселенность, возникающая на следующий год, вновь резко снижает численность в последующем году, так что период колебаний численности — 2 года. Далее, при 3,4 < с < 3,54 имеем уже 4 ветви, и возникает четырехстадийный цикл колебаний. Так период начинает удваиваться, и далее появляются 8, 16, 32, 64, … ветвей.

Итак, существует диапазон значений параметра с, когда поведение системы упорядочение и периодично; происходит последовательное удвоение периода. Такие решения имеют место для широкого класса систем — химических, электрических, гидродинамических, механических и т.д. В 1978 г. М.Фейгенбаум нашел универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода. Если выбрать соседние значения цикле,

где п = 4,66 для всех систем, то разность между ними убывает с ростом п как аⁿ, где а = 2,5 и тоже является универсальным. Законы Фейгенбаума подтверждены на опытах в совершенно различных по своей природе системах. Иногда их называют (из-за удвоения) законами каскадов Фейгенбаума (рис. 13.5). При с = 3,57 период уже стремится к бесконечности, движение становится апериодическим, поведение системы — хаотическим, происходит перекрытие различных решений. Все расчеты на ЭВМ делаются некорректными, зависящими от случайных процессов в самой вычислительной машине, решения для близких начальных условий оказываются далекими.

Сценарии перехода к хаосу могут быть и другими. Исследования сценариев связаны с анализом свойств странных аттракторов, к которым притягиваются точки (состояния системы) в многомерном фазовом пространстве. Введение понятия аттрактора — несомненная заслуга теории катастроф, как и пропаганда знаний об их бифуркациях. Сейчас к этим

терминам привыкли и фонемы речи, к примеру, называют аттракторами звукообразующей динамической системы.

Если популяция растет так, что отношение прироста численности к общей численности остается постоянным, то говорят, что закон роста линейный, а рост — экспотенциальный. При приросте 5 % популяция увеличивает свою численность вдвое за 14 лет. Но для роста есть пределы, на что обратил внимание П. Ферхюльст еще в середине XIX в. Он заключил, что прирост должен быть нелинейным. Уравнение Ферхюльста используют и для описания свойств турбулентного потока при приростах около 200%. В этой области происходят колебания, и становится невозможным достижение оптимальной численности. Когда прирост превысит 245 %, происходит такое усложнение поведения систем, что возникает хаос. Это и обнаружил Э.Лоренц для явлений в атмосфере.

Свойства аттракторов задаются набором траекторий в пространстве п переменных состояния, зависящих от времени как от параметра. В обычном аттракторе эти траектории простые, среди них есть замкнутые, называемые предельными циклами. В странном аттракторе траектории запутанные, не похожи ни на точки, ни на кривые, ни на поверхности; их представляют многослойными поверхностями. Странность состоит в том, что, попав в область странного аттрактора, точка (выбранное наугад решение) будет «блуждать» там и только через большой промежуток времени приблизится к какой-то его точке. И поведение системы, отвечающее такой точке, будет сильно зависеть от начальных условий. Итак, при медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затягивания потери устойчиво-

сти, описанное в 1973 г. М. А. Шишковой (рис. 13.6). В 1985 г. было показано, что это свойство имеет место во всех системах с медленно меняющимся параметром.

После прохождения параметра через бифуркационное значение, соответствующее рождению цикла или мягкому возникновению автоколебаний, система некоторое время остается в окрестности неустойчивого состояния, за которое параметр меняется на конечную величину. После этого система скачком переходит в момент бифуркации в автоколебательный режим (уже ставший жестким). Существование аттракторов с экспоненциально расходящимися фазовыми кривыми на них и устойчивость явлений установлены в начале 60-х гг. XX в. в работах С. Смейла, Д.А.Аносова, Я. Г.Синая. Независимо от этих работ Лоренц в 1963 г. описал наблюдавшийся им в численных экспериментах по моделированию конвекции в атмосфере аттрактор с разбегающимися фазовыми кривыми и указал на связь его с турбулентностью. Перепутывание частот при таком режиме оказывается принципиальным, получается, что частоты определены закона-

ми динамики и, следовательно, детерминированы. Поэтому и хаос назван детерминированным.

В 1975 г. американские ученые Т. Ли и Дж. Йорк опубликовали статью «Период три дает хаос», где доказали, что при некоторых условиях самопроизвольное появление моды с утроенной частотой возможно только вместе со всем остальным турбулентным спектром. Поэтому хаотический турбулентный режим имеет более сложную структуру, чем упорядоченный ламинарный. Принципиальным в теориях динамического хаоса является признание роли начальных условий, того обстоятельства, что в ходе эволюции система занимает не все точки «фазового пространства». В нем есть определенные места, «цепочки» их концентрации, статистические «аномалии», влияющие на всю микроструктуру. Исследования диалектики случайностей и регулярностей облегчаются возможностями моделирования этих процессов на ЭВМ. Исследования динамического хаоса показывают, что он способен породить не только «унылое равновесие», возникает «вторичная динамика», которую исследуют в синергетике.

Итак, в точке бифуркации поведение системы «разветвляется», становится неоднозначным. При достижении третьей бифуркации наступает состояние динамического хаоса, который скрывает внутреннюю упорядоченность. Проблема выяснения условий возникновения порядка из хаоса, по словам известного физика-теоретика Уилера, — задача номер один современной науки.